¿Qué es la transformación de Fourier?

El nombre del matemático francés Joseph Fourier, la transformación de Fourier es un procedimiento matemático que nos permite determinar el contenido de frecuencia de una función. Para los ingenieros eléctricos, la transformación de Fourier se aplica típicamente a funciones de tiempo que llamamos señales.

Descomposición sinusoidal

Una gráfica de voltaje o corriente vs. tiempo, como veríamos en una pantalla de osciloscopio, es una representación intuitiva del comportamiento de la señal. Sin embargo, no es la única representación útil.

En muchos casos, por ejemplo, en el diseño de sistemas de RF, estamos interesados ​​principalmente en el comportamiento periódico de las señales. Más específicamente, estamos interesados ​​en comprender una señal con respecto a sinusoidal periodicidad, porque los sinusoides son la expresión matemática única de la frecuencia «pura».

La transformación de Fourier revela la periodicidad elemental de una señal por descomponiendo la señal en sus frecuencias sinusoidales constituyentes e identificando las magnitudes y fases de estas frecuencias constituyentes.

La palabra «descomponer» es crucial aquí. La transformación de Fourier nos enseña a pensar en una señal de dominio del tiempo como una forma de onda que es compuesto de formas de onda sinusoidales subyacentes con diversas magnitudes y fases.

Una onda cuadrada, por ejemplo, puede descomponerse en una serie infinita de sinusoides con amplitudes que disminuyen constantemente y frecuencias que aumentan constantemente. La serie exacta, para una onda cuadrada acoplada a CA del período T y la amplitud A, se puede escribir de la siguiente manera:

[f_{square}

Podemos convertir esto en la siguiente forma, que es un poco más intuitiva:

[f_{square}

donde f es la frecuencia, en hercios, de la onda cuadrada.

La siguiente gráfica muestra la onda cuadrada original, en azul, y los primeros ocho sinusoides en la serie infinita.


Después de mirar esta trama, aún puede ser un poco escéptico de que estas sinusoides se puedan combinar en una onda cuadrada. Sin embargo, la siguiente trama te convencerá. Muestra la onda cuadrada original y la forma de onda producida por agregando todos los sinusoides constituyentes que se muestran arriba.

Funciones de tiempo y frecuencia

Cuando calculamos una transformada de Fourier, comenzamos con una función de tiempo, f

La evaluación de F (ω) a alguna frecuencia angular específica, digamos 100 rad / s, nos da la magnitud y la fase de la componente sinusoidal de f

Tal vez se pregunte cómo una función, F (ω), puede informar tanto la magnitud como la fase. La transformada de Fourier produce un de valor complejo función, lo que significa que la transformación en sí no es ni la magnitud de los componentes de frecuencia en f

El concepto de una transformación de valor complejo es algo más intuitivo cuando trabajamos con un discreto Transformada de Fourier, en lugar de una transformación «estándar» en la que comenzamos con una función simbólica del tiempo y terminamos con una función simbólica de la frecuencia.

La transformada discreta de Fourier opera en una secuencia de valores numéricos y produce una secuencia de Fourier coeficientes. Estos coeficientes son números complejos típicos (es decir, tienen la forma a + jb), y usualmente usamos la magnitud de estos números complejos, calculados como √ (a2+ b2), al analizar el contenido de frecuencia de una señal.

Trazando la Transformada de Fourier

Las tramas de contenido de frecuencia son extremadamente comunes en hojas de datos, informes de prueba, libros de texto, etc. A menudo nos referimos a una gráfica de magnitud vs. frecuencia como un espectro, por ejemplo, «echemos un vistazo al espectro de la señal» significa «echemos un vistazo a algún tipo de representación visual de la información de magnitud en la transformada de Fourier . «

La siguiente gráfica muestra el espectro de una onda cuadrada acoplada a CA con una amplitud de 1 y una frecuencia de 1 Hz.

Si compara las amplitudes trazadas de los «picos» de frecuencia con las amplitudes de los componentes sinusoidales correspondientes en las series infinitas discutidas anteriormente, verá que son consistentes.

Cálculo de la transformada de Fourier

Estamos casi al final de este artículo y todavía no te he dicho cómo generamos realmente la transformación de Fourier de una señal matemáticamente definida.

Para ser honesto, no veo la necesidad de explorar a fondo los detalles matemáticos en un artículo introductorio: el análisis de dominio de frecuencia hoy en día está dominado por técnicas fáciles de usar y basadas en software, y los ingenieros no pasan mucho tiempo convirtiendo el tiempo simbólico. expresiones de dominio en expresiones simbólicas de dominio de frecuencia.

Sin embargo, con algo tan importante como la transformación de Fourier, es bueno al menos estar al tanto de las matemáticas subyacentes. Entonces, sin más preámbulos, así es como convertimos f

[F(omega ) = intlimits_{ – infty }^{ + infty } {f

Conclusión

Espero que este artículo haya proporcionado una explicación clara e intuitiva de lo que es la transformada de Fourier y cómo nos brinda información adicional sobre la naturaleza de una señal.

La transformación de Fourier es solo el comienzo de una amplia gama de temas relacionados; si desea obtener más información, eche un vistazo a los artículos que se enumeran a continuación.

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